Matematika Kalkulus
Turunan
Pendahuluan
Turunan: Konsep Matematika yang Menggerakkan Dunia
Pernahkah Anda bertanya-tanya bagaimana ilmuwan memprediksi kecepatan roket, ekonom menghitung pertumbuhan bisnis, atau insinyur merancang jalan yang efisien? Konsep turunan adalah jawabannya! Turunan tidak hanya abstraksi matematika, tetapi alat penting dalam sains, teknologi, dan kehidupan sehari-hari. Di materi ini, kita akan mempelajari dasar turunan, aturan-aturannya, serta aplikasinya yang menakjubkan.
Turunan: Warisan Newton dan Leibniz yang Mengubah Matematika
Pada abad ke-17, dua ilmuwan besar—Isaac Newton dan Gottfried Leibniz secara terpisah mengembangkan konsep turunan, membuka pintu bagi kalkulus modern. Konsep ini merevolusi cara kita memahami perubahan, dari gerak planet hingga optimisasi ekonomi. Di sini, kita akan menjelajahi ide mendasar turunan, mengikuti jejak para pemikir besar ini.
Turunan: Matematika di Balik Kemiringan dan Kecepatan
Bayangkan Anda mengendarai sepeda menuju sebuah bukit. Kapan Anda merasa tanjakan paling curam? Bagaimana kita mengukur 'kecepatan sesaat' saat laju terus berubah? Turunan adalah alat matematika untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan ini. Melalui grafik dan contoh intuitif, kita akan menggali makna turunan sebagai kemiringan garis singgung dan laju perubahan.
Mengapa Turunan Penting? Memahami Perubahan dalam Alam dan Sains
Dunia kita dinamis—semuanya berubah: populasi, suhu, harga saham, bahkan posisi planet. Turunan membantu kita 'mengukur' perubahan ini secara presisi. Di materi ini, kita akan membahas bagaimana turunan menjadi bahasa universal untuk memodelkan gerak, pertumbuhan, dan optimisasi dalam sains modern.
Turunan: Rahasia Dibalik Grafik dan Persamaan
Apa hubungan antara kecepatan mobil dan grafik posisinya? Bagaimana turunan membantu kita menemukan titik tertinggi atau terendah suatu fungsi? Jika Anda penasaran dengan jawabannya, mari selami konsep turunan—tools matematika yang memungkinkan kita 'membedah' perilaku fungsi dengan elegan.
Konsep Dasar
Pernah naik gunung? Saat sedang naik gunung semakin kita bergerak maka posisi kita akan semakin tinggi. Pertanyannya seberapa terjal, atau seberapa landai Gunung Lawu misal dibandingkan dengan Gunung Semeru? Kita akan membahas konsep turunan yang dapat menjelaskan secara matematis dan terukur konsep terjal dan landai ini.
Turunan dapat kita lihat sebagai perumuman dari gradien atau kemiringan. Pertama-tama mari perhatikan gambar kurva di bawah ini.
Garis yang melalui titik $P$ dan $Q$ disebut dengan garis potong atau Secant Line. Garis potong ini mempunyai gradien $$\begin{array}{rl}m_{\text{sec}}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{f(c+h)-f(c)}{(c+h)-c}.\end{array}$$ Sekarang jika titik $Q$ kita dekatkan ke titik $P$ maka akan diperoleh sebuah garis dengan gradien $\displaystyle m_{\text{tan}}=\lim_{h\to 0}m_{\text{sec}}.$ Garis ini selanjutnya akan disebut sebagai garis singgung atau Tangent Line.
Garis Singgung
Garis singgung pada kurva $y=f(x)$ pada titik $P(c,f(c))$ adalah garis yang melewati titik $P$ dan mempunyai gradien $$\begin{align*} m_{\text{tan}} = \lim_{h\to 0} m_{\text{sec}} = \lim_{h\to 0}\dfrac{f(c+h)-f(c)}{h} \end{align*} $$ dengan syarat limitnya ada dan bukan $\infty$ atau $-\infty.$
Definisi
Turunan dari $f(x)$ yaitu $f'(x)$ didefinisikan melalui limit di sebarang bilangan $x$ yaitu $$\begin{align*}f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h}. \end{align*} $$
Jika limit di atas ada, maka fungsi $f$ disebut terdiferensialkan di $x.$
SDG 2: Zero Hunger
Misalnya, dalam pertanian, hasil panen per hektar bisa berhubungan dengan faktor-faktor seperti teknologi pertanian, cuaca, dan praktik pertanian. Dalam jangka pendek, produksi bisa meningkat dengan sangat cepat, tetapi pada akhirnya, pertumbuhan panen akan mencapai batas optimalnya (maksimum) dan melambat. Fungsi panen diketahui adalah $$\begin{align*} P(t) = -3t^2 + 24t \end{align*} $$ dengan $P$ menyatakan hasil panen dalam ton per hektar dan $t$ menyatakan waktu dalam tahun.
Berapakah pertumbuhan panen pada tahun ketiga?
Pertumbunan panen merupakan turunan pertama dari fungsi panen. Sekarang mari hitung menggunakan limit: $$ \begin{align*} m_{\text{tan}} &= \lim_{h\to 0} \dfrac{f(3+h)-f(3)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{-3(3+h)^2+24(3+h)-(-3(3)^2+24(3))}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{-3(9+6h+h^2)+24(3+h)-(-3(9)+24(3))}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{-3(6h+h^2)+24h}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} -3(6+h)+24 \\ &= 6. \end{align*}$$ Jadi pertumbuhan panen pada tahun ketiga adalah $6$ (ton per hektar per tahun).
Jika kita perhatikan kurva fungsi seperti di bawah ini sesuai gradien yang kita hasilkan sebelumnya yaitu bernilai positif.
Pada bentuk pertama dan kedua kita lihat $l$ dan $h$ menyatakan jarak antar fungsi. Sehingga ketika $l$ dan $h$ menuju 0 maka jarak antar fungsi menjadi semakin dekat. Sementara pada bentuk ketiga menyatakan saat $x$ mendekati $c,$ maka sama saja artinya dengan jaraknya yang semakin mendekat.
Terdiferensialkan Memastikan Kekontinuan
Jika $f'(c)$ ada, maka $f(x)$ kontinu di titik $x=c.$
Secara umum dapat kita rangkum beberapa kondisi berkaitan keterdiferensialan dan kekontinuan seperti pada gambar di bawah ini.
Seperti halnya saat gradien dinotasi sebagai $m = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x},$ maka turunan pun akan memiliki notasi yang serupa. Notasi ini disebut sebagai Notasi Leibniz yang diambil dari nama seorang ilmuwan Gottfried Wilhelm Leibniz, seorang pendahulu Isaac Newton. $$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}= f'(x). \end{align*} $$
Aturan Turunan
Dari definisi turunan melalui limit, dapat diperoleh beberapa aturan yang akan mempercepat kita dalam menentukan turunan sebuah fungsi. Turunan dapat diasumsikan sebagai sebuah operator dimana turunan mempunyai input fungsi $f(x)$ dan akan menghasilkan output fungsi turunan yaitu $f'(x).$ Turunan sebagai operator sering dinotasikan sebagai $D_x.$ Sekarang kita punya 3 notasi untuk turunan yaitu $$\begin{align*} f'(x) &= D_xf(x) &= \dfrac{df(x)}{dx} \\ y' &= D_xy &= \dfrac{dy}{dx} \end{align*} $$
Aturan Turunan Konstanta
$$\begin{align*} (k)' = 0.\end{align*}$$
$$ \begin{align*} (k)' = f'(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{k-k}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{0}{h} \\ &= 0. \hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}}\end{align*} $$
Turunan dari semua konstanta adalah $0$ tidak melihat nilai, apakah konstanta itu, $1,2,3,\in\mathbb{Q}$ atau $\pi\notin\mathbb{Q}$ bahkan $e\notin\mathbb{Q}.$
Aturan Turunan Pangkat
$$\begin{align*} (x^n)' &= nx^{n-1} \\ (x)' &= 1.\end{align*}$$
Turunan seperti namanya membuat pangkat menjadi lebih kecil, atau menurunkan pangkat.
Turunan Trigonometri
$$\begin{align*} (\sin)' = \cos x \hspace{1cm} (\cos x)' = - \sin x. \end{align*} $$
$$ \begin{align*} (\sin x)' &= \lim_{h\to 0} \dfrac{\sin(x+h)-\sin x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{\sin x \cos h +\cos x \sin h -\sin x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \left(-\sin x\dfrac{1-\cos h}{h}+\cos x\dfrac{\sin h}{h} \right) \\ &= (-\sin x)\left(\lim_{h\to 0}\dfrac{1-\cos h}{h} \right)+\cos x\left( \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}\right) \\ &= -\sin x(0)+\cos x(1) = \cos x \hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} (\cos x)' &= \lim_{h\to 0} \dfrac{\cos(x+h)-\cos x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{\cos x \cos h -\sin x \sin h -\cos x}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \left(-\cos x\dfrac{1-\cos h}{h}-\sin x\dfrac{\sin h}{h} \right) \\ &= (-\cos x)\left(\lim_{h\to 0}\dfrac{1-\cos h}{h} \right)-\sin x\left( \lim_{h\to 0}\dfrac{\sin h}{h}\right) \\ &= -\cos x(0)-\sin x(1) = -\sin x \hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}} \end{align*} $$
Kita dapat gambarkan turunan pada trigonometri seperti pada siklus di bawah ini.
Turunan Eksponensial
$$\begin{align*} (a^x)' &= a^x \ln a \\ (e^x)' &= e^x.\end{align*}$$
$$ \begin{align*} (a^x)' &= \lim_{h\to 0}\dfrac{a^{x+h}-a^x}{h} \\ &= a^x\cdot \lim_{h\to 0}\dfrac{a^h-1}{h} \end{align*} $$ Misalkan $a^h-1=k,$ maka $h= \log_a(k+1).$ Perhatikan bahwa ketika $h\to 0$ maka $k\to 0.$ Sehingga diperoleh $$ \begin{align*} \lim_{h\to 0}\dfrac{a^h-1}{h} &= \lim_{k\to 0}\dfrac{k}{\log_a(k+1)} \\ &= \lim_{k\to 0}\dfrac{1}{\dfrac{1}{k}\log_a(k+1)} \\ &= \lim_{k\to 0}\dfrac{1}{\log_a(k+1)^{1/k}} \\ &= \dfrac{1}{\log_a\left(\lim_{k\to 0}(k+1)^{1/k}\right)} \\ &= \dfrac{1}{\log_a e} \\&= \ln a \end{align*} $$ Jadi $$\begin{align*} (a^x)' &= a^x \ln a \hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}}\end{align*} $$ Begitu pun untuk $a=e,$ akan diperoleh $$ \begin{align*} (e^x)' = e^x\ln e = e^x \hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}}\end{align*} $$
Contoh dapat kita lihat di bawah ini.
Turunan Logaritma
$$\begin{align*} (\log_{a}x)' = \dfrac{1}{x\ln a}.\end{align*}$$
Bukti diserahkan kepada pembaca.
Aturan Penjumlahan
$$\begin{align*} (f+g)' &= f'+g' \\ (f-g)' &= f'-g' \end{align*} $$
Kita hanya akan membuktikan untuk kasus penjumlahan karena bukti keduanya sangat persis. Misalkan $F(x) = f(x)+g(x).$ Perhatikan bahwa $$ \begin{align*} F'(x) &= \lim_{h\to 0} \dfrac{(f(x+h)+g(x+h))-(f(x)+g(x))}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \left(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} +\lim_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ &= f'(x)+g'(x)\hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}} \end{align*} $$
Dari teorema ini kita menjadi punya pilihan, bisa kita jumlahkan dulu lalu kita turunkan, atau diturunkan dulu baru dijumlahkan.
Kalau mencari turunan $y=x^2-x^2$ mau diturunkan dulu atau dikurangi dulu saja?
Aturan Perkalian
$$\begin{align*} (fg)'=f'\cdot g+f\cdot g' \end{align*} $$
Misalkan $F(x)=f(x)g(x).$ Perhatikan bahwa $$ \begin{align*} F'(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \left(g(x+h)\cdot \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\cdot \dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \right) \\ &= \lim_{h\to 0}g(x+h)\cdot \lim_{h\to 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}+f(x)\cdot \lim_{h\to 0}\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \\ &= f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}} \end{align*} $$
Namun sayang sekali untuk kasus perkalian turunan, tidak bisa kita samakan dengan penjumlahan turunan. Jadi harus mengikut aturan perkalian tidak boleh dikalikan dulu baru diturunkan.
Aturan Pembagian
$$\begin{align*} \left( \dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'\cdot g - f\cdot g'}{g^2}\end{align*} $$
Misalkan $F(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}.$ Perhatikan bahwa $$ \begin{align*} F'(x) &= \lim_{h\to 0}\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{\dfrac{f(x+h)}{g(x+h)}-\dfrac{f(x)}{g(x)}}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{g(x)f(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}\cdot \dfrac{1}{g(x)g(x+h)} \\ &= \lim_{h\to 0}\left( \dfrac{g(x)f(x+h)-g(x)f(x)+g(x)f(x)-f(x)g(x+h)}{h} \right)\dfrac{1}{g(x)g(x+h)} \\ &= \lim_{h\to 0} \left( g(x)\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}-f(x)\dfrac{g(x+h)-g(x)}{h} \right)\dfrac{1}{g(x)g(x+h)} \\ &= \left(g(x)f'(x)-f(x)g'(x) \right)\dfrac{1}{g(x)g(x)} \\ &= \dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}\hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}} \end{align*} $$
Buktikan $$ \begin{array}{rlcrl} (\tan x)' &= \sec^2 x && (\cot x)' &= -\csc^2 x .\end{array} $$
Aturan Rantai
Aturan Rantai
$$ \begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &=\dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx} \\ \dfrac{d}{dx}f(g(x)) &= f'(g(x))\cdot g'(x).\end{align*}$$
Misalkan $y=f(u)$ dan $u=g(x)$ dengan $g(x)$ terdiferensialkan di $x$ dan $f(u)$ terdiferensialkan di $u.$ Maka diperoleh $$ \begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= \lim_{\Delta x\to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta u}\dfrac{\Delta u}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\cdot \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta u}{\Delta x}. \end{align*} $$ Karena $g$ terdiferensialkan di $x,$ maka $g$ kontinu di $x.$ Sehingga kita bisa simpulkan saat $\Delta x\to 0$ maka $\Delta u\to 0.$ Oleh karena itu $$\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = \lim_{\Delta u\to 0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\cdot \lim_{\Delta x\to 0}\dfrac{\Delta u}{\Delta x} = \dfrac{dy}{du}\cdot \dfrac{du}{dx}. \hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}}\end{align*} $$
Aturan rantai di atas itu bisa digunakan sampai tak terbatas panjang. Ilustrasi untuk panjang 3, 4, dan 5 rantai kita berikan di bawah ini.
SDG 3 - Good Health
Diketahui fungsi penyebaran penyakit: $I(t) = \sqrt{1+2e^{-t}}.$ Berapa cepat perubahan penyebaran penyakit setelah intervensi?
Misalkan $u = 1+2e^{-t}.$ Kita dapatkan $I(t)=\sqrt{u}=u^{1/2}.$
$$ \begin{align*} \dfrac{dI}{dt} &= \dfrac{dI}{du}\cdot \dfrac{du}{dt} \\ &= \dfrac{1}{2}u^{-1/2}(-2e^{-t}) \\ &= \dfrac{-2e^{-t}}{2\sqrt{1+2e^{-t}}}.\end{align*} $$
Turunan Implisit
Ada kalanya bentuk eksplisit dari sebuah fungsi tidak dapat kita tentukan dengan mudah. Sebagai contohnya $x^2+5y^3=x+9.$ Hal ini menyebakan aturan pada teorema-teorema di atas tidak dapat kita gunakan langsung. Namun karena telah dibahas aturan rantai sebelumnya maka menentukan turunan dari fungsi implisit bukan lagi menjadi kendala.
Langkah:
- Turunkan kedua sisi terhadap $x,$ anggap $y$ sebagai fungsi dari $x.$
- Gunakan Aturan Rantai: $\dfrac{d}{dx}y = y'.$
SDG 10 - Reduced Inequalities
Fungsi hubungan pendapatan dan akses kesehatan yang terbatas dan tidak terhingga dimodelkan dengan $x^2+y^2=100$ Tentukan nilai $y'(6).$
Perhatikan $$\begin{align*} \dfrac{d}{dx}(x^2+y^2) &= \dfrac{d}{dx}100 \\ \dfrac{d}{dx}x^2+\dfrac{d}{dx}y^2 &= 0 \\ 2x+\dfrac{d}{dy}y^2\dfrac{dy}{dx} &= 0 \\ 2x+2yy' &= 0 \\ y' &= \dfrac{-2x}{2y}=\dfrac{-x}{y}.\end{align*}$$
Perlu diperhatikan bahwa turunan pada bagian di atas tidak hanya bergantung pada $x$. Sehingga nilai dari $y'(6)$ masih akan dipengaruhi oleh nilai $y.$ Saat $x=6,$ maka $y^2=100-36=64.$ Akibatnya $y=\pm 8.$ Sehingga $$ \begin{align*} \text{saat }y&= 8 \\ y'(6) &= \dfrac{-6}{8}=\dfrac{-3}{4} \\ \text{saat }y&=-8 \\ y'(6) &= \dfrac{-6}{-8}=\dfrac{3}{4}\end{align*} $$
Perhatikan gambar.
Turunan Kedua
Kemampuan untuk melihat turunan sebagai operator mempermudah kita untuk memahami turunan kedua, ketiga, dan seterusnya. Secara wajar dapat kita katakan bahwa turunan kedua merupakan hasil output dari operator turunan dengan input fungsi hasil turunan pertama. Dapat dinyatakan turunan kedua merupakan hasil turunan dari turunan pertama.
Berikut ini lambang untuk turunan kedua dan seterusnya: $$ \begin{align*} f'(x)&& D_xy && \dfrac{dy}{dx} \\ f''(x) && D^2_xy && \dfrac{d^2y}{dx^2} \\ f'''(x) && D^3_xy && \dfrac{d^3y}{dx^3} \\ f^{(4)}(x) && D^4_xy && \dfrac{d^4y}{dx^4} \\ \cdots && \cdots && \cdots \\ f^{(n)}(x) && D^n_xy && \dfrac{d^ny}{dx^n}\end{align*} $$
SDG 8 - Economic Growth
Jika pada beberapa tahun $t$ tertentu ekonomi mengalami pertumbuhan (naik) setelah itu pertumbuhan melambat dan akhirnya turun seperti permodelan berikut $GDP(t) = t^3 - 3t^2 +2,$ maka tentukan pertumbuhan ekonomi dan percepatannya.
- $GDP'(t) = 3t^2 -6t$ adalah pertumbuhan ekonomi
- $GDP''(t) = 6t-6$ adalah percepatan atau perlambatan pertumbuhan
Aplikasi
Bayangkan Anda sedang melakukan hobi naik gunung. Jika kita bayangkan setelah kita naik lalu mencapai puncak, lalu pasti kita akan berjalan turun. Tidak mungkin naik lagi. Hal yang sama juga akan terjadi pada fungsi. Pada saat titik maksimum pasti ada proses naik dan setelah puncak akan ada proses turun.
Maksimum dan Minimum
Konsep turunan sangat penting untuk menemukan titik maksimum atau minimum dari suatu fungsi, yang dapat diterapkan dalam optimasi berbagai isu SDGs.
Sebelum dibahas lebih lanjut, maksimum dan minimum akan kita definisikan secara formal terlebih dahulu seperti di bawah ini.
Misalkan $S$ adalah domain dari $f$ yang memuat titik $c.$ Didefinisikan
- $f(c)$ adalah titik maksimum dari $f$ di $S$ jika $f(c)\ge f(x)$ untuk semua $x\in S.$
- $f(c)$ adalah titik minimum dari $f$ di $S$ jika $f(c)\le f(x)$ untuk semua $x\in S.$
- $f(c)$ titik ekstrim jika $f(c)$ titik maksimum atau titik minimum.
Eksistensi Maksimum Minimum
Jika $f$ kontinu pada selang tertutup $[a,b],$ maka $f$ mencapai maksimum dan minimum pada selang ini.
Secara intuisi teorema ini mudah dibuktikan, namun bukti formal tidak mudah dan tidak akan disajikan dalam catatan ini.
Jika ditelisik intuisi akan langsung mengarah pada di titik seperti pada gambar di bawah ini.
Titik Kritis
Misalkan $f$ terdefinisi pada selang $I$ yang memuat titik $c.$ Jika $f(c)$ titik ekstrim maka $c$ pasti adalah titik kritis, dimana titik kritis $c$ adalah
- ujung dari $I$
- titik stasioner dari $f,$ titik dimana $f'(c)=0.$
- titik singular dari $f,$ titik dimana $f'(c)$ tidak terdefinisi.
Akan dibuktikan bahwa jika $f(c)$ maksimum dan $(c,f(c))$ bukan titik ujung ataupun titik singular maka titik tersebut merupakan titik stasioner.
Sekarang misalkan $(c,f(c))$ titik maksimum, maka $f(x)\le f(c)$ untuk semua $x\in I.$ Jika $ x < c $ maka akan diperoleh $\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\ge 0$. Sementara jika $ x > c$ maka akan diperoleh $\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\le 0.$
Akan tetapi $f'(c)$ bukan titik singular artinya $f'(c)$ terdefinisi. Akibatnya $$ \begin{align} \lim_{x\to c^-}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} &\ge 0 \\ \lim_{x\to c^+}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} &\le 0 \end{align} $$ Maka diperoleh $f'(c)=0.$ Jadi $(c,f(f))$ titik stasioner.$\hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}}$
SDG 2 (Zero Hunger):
Hasil panen awalnya naik namun setelah titik tertentu. Selanjutnya hasil panen mulai menurun karena faktor seperti kelelahan tanah, perubahan cuaca, atau kesalahan dalam rotasi tanaman. Hasil panen per hektar dinyatakan dalam fungsi $ P(t)=-2t^2+12t$ dalam $0 \le t \le 5.$
Diketahui dari gambar bahwa maksimum terjadi pada titik stasioner. Sehingga hanya perlu dicari turunan pertama = 0 untuk menentukan titik maksimum.
Turunan pertama: $ P'(t)=-4t+12.$ Setel $$ \begin{align*} P'(t) &=0 \\ -4t+12 &= 0 \\ -4t &= -12 \\ t &= 3 \end{align*} $$ Artinya, panen maksimum terjadi di tahun ke-3. Hasil panennya adalah $ P(3) = -2(3)^2+12(3) = 18.$
Kemonotonan dan Kecekungan
Misalkan $f$ terdefinisi pada selang $I.$ Fungsi $f$ disebut
- monoton naik pada $I$ jika untuk setiap $x_1,x_2\in I$ berlaku $$ x_1 < x_2 \text{ maka } f(x_1) < f(x_2) $$
- monoton turun pada $I$ jika untuk setiap $x_1,x_2\in I$ berlaku $$ x_1 < x_2 \text{ maka } f(x_1) > f(x_2) $$
- monoton murni pada $I$ jika $f$ monoton naik atau turun.
Kemonotonan
Misalkan $f$ kontinu pada selang $I$ dan terdiferensialkan pada setiap titik di dalam selang $I.$
- Jika $f'(x) > 0 $ untuk semua titik $x$ di dalam $I,$ maka $f$ monoton naik di $I.$
- Jika $f'(x) < 0 $ untuk semua titik $x$ di dalam $I,$ maka $f$ monoton turun di $I.$
Bukti akan disajikan setelah dibahas teorema rata-rata pada subbab yang akan datang.
Sebuah ilustrasi untuk teorema di atas dapat kita lihat pada gambar di bawah ini.
Misalkan $f$ terdiferensialkan pada selang terbuka $I.$ Fungsi $f$ dikatakan cekung ke atas pada $I$ jika $f'$ monoton naik di $I,$ dan sebaliknya dikatakan cekung ke bawah jika $f'$ monoton turun di $I.$
Mari kita bandingkan cekung ke bawah dan cekung ke atas seperti gambar di bawah ini. Intuisi kita akan mengarahkan kepada titik maksimum akan terjadi saat cekung ke bawah dan titik minimum akan terjadi pada saat cekung ke atas.
Kecekungan
Misalkan $f$ terdiferensialkan dua kali pada selang terbuka $I.$
- Jika $f''(x) > 0 $ untuk setiap $x\in I,$ maka $f$ cekung ke atas pada $I.$
- Jika $f''(x) < 0 $ untuk setiap $x\in I,$ maka $f$ cekung ke bawah pada $I.$
Implikasi langsung dari teorema kemonotonan di sebelumnya.
Misalkan $f$ kontinu pada $c.$ Titik $(c,f(c))$ adalah titik belok dari $f$ jika $f$ cekung ke atas di satu sisi dan cekung ke bawah di sisi lainnya.
Dapat kita gambarkan dari definisi di atas titik-titik belok pada gambar di bawah ini.
Misalkan $S$ adalah domain dari $f$ yang memuat titik $c.$ Didefinisikan
- $f(c)$ adalah maksimum lokal dari $f$ jika ada selang $(a,b)$ yang memuat $c$ sehingga $f(c)$ maksimum pada $(a,b)\cap S.$
- $f(c)$ adalah minimum lokal dari $f$ jika ada selang $(a,b)$ yang memuat $c$ sehingga $f(c)$ minimum pada $(a,b)\cap S.$
- $f(c)$ adalah ekstrim lokal jika $f(c)$ maksimum lokal atau minimum lokal.
Sebuah ilustrasi dari definisi di atas adalah gambar di bawah ini.
Kalau kita perhatikan gambar di atas, titik ekstrim lokal akan selalu berada pada tiga jenis titik yang termasuk pada titik kritis yaitu titik stasioner, titik singular, dan titik ujung.
Uji Turunan Pertama
Misalkan $f$ kontinu pada selang terbuka $(a,b)$ yang memuat titik kritis $c.$
- Jika $f'(x) > 0 $ untuk semua $x$ di $(a,c)$ dan $f'(x) < 0 $ untuk semua $x$ di $(c,b),$ maka $f'(c)$ adalah maksimum lokal dari $f.$
- Jika $f'(x) < 0 $ untuk semua $x$ di $(a,c)$ dan $f'(x) > 0 $ untuk semua $x$ di $(c,b),$ maka $f'(c)$ adalah minimum lokal dari $f.$
- Jika $f'(x)$ punya tanda yang sama di kedua sisi $c,$ maka $f(c)$ bukan ekstrim lokal dari $f.$
Karena $f'(x) > 0$ pada setiap $x\in (a,c),$ maka $f$ monoton naik pada $(a,c].$ Karena $f'(x) < 0$ untuk setiap $x\in (c,b),$ maka $f$ monoton turun di $[c,b).$ Oleh karenanya $f(x) < f(c)$ untuk setiap $x\in (a,b)$ kecuali $x=c.$ Maka $f(c)$ maksimum lokal.
Bukti untuk $(2)$ dan $(3)$ serupa.$\hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}}$
Jadi jika Anda bayangkan teorema ini akan menjadi sangat normal. Setelah monoton turun berubah menjadi monoton naik. Jelas akan ada titik lembah paling bawah. Sebaliknya jika setelah monoton naik berubah menjadi monoton turun, maka jelas ada titik yang paling puncak.
Mari kita lihat ilustrasi di bawah ini.
Uji Turunan Kedua
Misalkan $f'$ dan $f''$ terdefinisi untuk setiap titik pada selang terbuka $(a,b)$ yang memuat $c,$ dan misalkan $f'(c)=0$
- Jika $f''(c) < 0,$ maka $f(c)$ adalah maksimum lokal dari $f.$
- Jika $f''(c) > 0,$ maka $f(c)$ adalah minimum lokal dari $f.$
Dari definisi kita dapatkan $$ \begin{align*} f''(c) = \lim_{x\to c} \frac{f'(x)-f'(c)}{x-c} = \lim_{x\to c} \frac{f'(x)-0}{x-c} < 0\end{align*} $$ Implikasinya ada (mungkin kecil) selang $(\alpha,\beta)$ di sekitar $c$ sehingga $\dfrac{f'(x)}{x-c} < 0$ untuk $x\ne c.$ Namun pertidaksamaan ini mengakibatkan $f'(x) >0$ untuk $\alpha < x < c$ dan $f'(x) <0$ untuk $c Bukti serupa untuk (2).$\hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}}$
Mari kita bayangkan sekali lagi, bahwa turunan kedua positif berarti cekung ke atas, maka sangat memungkinkan bahwa terdapat titik minimum di dalamnya karena kurva ini menghadap ke atas. Sebaliknya titik maksimum akan muncul pada kurva yang menghadap ke bawah, atau cekung ke bawah.
Teorema Nilai Rata-rata
Coba perhatikan gambar di bawah ini.
Kalau kita perhatikan dengan seksama dari dua contoh di atas, dapat kita pahami bahwa selalu terdapat garis singgung dengan gradien sama dengan garis yang menghubungkan dua ujung. Bentuk formalnya akan ditulis dalam teorema di bawah ini.
Teorema Nilai Rata-rata untuk Turunan
Jika $f$ kontinu pada selang tertutup $[a,b]$ dan terdiferensialkan di dalam selang $(a,b),$ maka ada minimal satu titik $c$ di $(a,b)$ dengan $$ \begin{align*} \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\end{align*} $$ atau ekuivalen dengan $$ \begin{align*} f(b)-f(a) = f'(c)(b-a)\end{align*} $$
Misalkan $s(x)=f(x)-g(x)$ dengan $g(x)$ adalah garis yang melewati titik ujung yaitu $(a,f(a))$ dan $(b,f(b)).$ Maka kita punya $$ \begin{align*}s(x) &= f(x)-g(x) \\ &= f(x) -f(a) - \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \end{align*} $$ Jelas $s(a)=s(b)=0$ dan untuk setiap $x\in (a,b),$ berlaku $s'(x)=f'(x)-\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}.$
Jelas juga $s(x)$ kontinu dan terdiferensialkan. Berdasarkan teorema maksimum minimum, $s(x)$ mencapai maksimum dan minimum di $[a,b]$
- Jika $\max = \min =0,$ maka artinya $s(x)=0$ untuk semua $x\in [a,b]$. Jadi $f(x)$ adalah garis. SELESAI.
- Jika titik ekstrim berbeda dari $0$ maka titik ekstrim terjadi pada titik dalam selang $(a,b).$ Hal ini berarti titik ekstrim terjadi pada titik singular atau titik stasioner. Karena $s(x)$ terdiferensialkan, maka pastilah titik ekstrim terjadi pada titik stasioner. Maka ada $c\in (a,b)$ sehingga $s'(c)=0.$ SELESAI
Eksplorasi SDGs
Tanpa Kemiskinan
Menganalisis Laju Penurunan Kemiskinan
Sebuah kabupaten mencanangkan program pengentasan kemiskinan berbasis UMKM sejak tahun 2020. Persentase penduduk miskin dinyatakan dalam fungsi: $$ K(t) = \frac{20}{t+1}$$ dengan:
- $K(t)$: persentase penduduk miskin (%) pada tahun ke-$t$ sejak program dimulai,
- $t=0$ berarti tahun 2020,
- Data berlaku untuk 5 tahun pertama (hingga $t=5$).
- Tentukan laju perubahan kemiskinan pada tahun ke-1 dan tahun ke-4.
- Jika kamu adalah bagian dari tim perumus kebijakan, apa rekomendasi kebijakanmu agar program tetap efektif hingga tahun ke-5?
(a) Menghitung Laju Perubahan Kemiskinan
Turunan dari $K(t) = \dfrac{20}{t+1}$ adalah $$ K'(t) = -\dfrac{20}{(t+1)^2}$$ Jadi $$ \begin{array}{rll}K'(1) &= -\dfrac{20}{(1+1)^2} &= -\dfrac{20}{4} = -5 \\ K'(4) &= -\dfrac{20}{(4+1)^2} &= -\dfrac{20}{5} = -0,8 \end{array} $$
Rekomendasi dan Kebijakan
Kesimpulan yang dapat diberikan adalah program pengentasan kemiskinan paling efektif di awal, lalu dampaknya semakin kecil tiap tahun dan penurunan yang melambat ini bisa berarti masyarakat termiskin sudah terbantu, tetapi golongan rentan masih stagnan.
Tanpa Kelaparan
Optimasi Produksi Pertanian Berkelanjutan
Bayangkan Anda adalah seorang petani masa kini. Anda ingin memaksimalkan hasil panen padi dengan penggunaan pupuk yang efisien. Karena terlalu banyak pupuk justru akan mencemari tanah. Kita tahu fungsi hasil panen $H(x) = -0,5x^2+20x+100$ (ton/hektar) dengan $x$ adalah jumlah pupuk. Hitunglah jumlah pupuk agar panen yang dihasilkan dapat maksimum.
Soal optimasi ini akan langsung mengarahkan kita kepada uji turunan pertama. Mari kita perhatikan $$\begin{align*} H'(x) &= -x + 20 = 0 \end{align*} $$
Kehidupan Sehat dan Sejahtera
Mengukur Laju Penyebaran Penyakit dan Merancang Kebijakan Kesehatan
Sebuah kota mencatat kasus penyakit infeksi ringan (seperti flu musiman) yang menyebar dalam populasi padat. Jumlah kasus kumulatif (dalam ribuan) setelah tt minggu sejak awal musim dicatat dengan fungsi: $$ P(t) = 100\cdot \ln (t+1)$$ dengan
- $P(t)$: jumlah kasus kumulatif (dalam ribu),
- $t$: waktu dalam minggu $(0 \le t \le 8).$
- Hitung laju penyebaran kasus pada minggu ke-1 dan minggu ke-5. Apa arti laju ini secara praktis?
- Berdasarkan hasil tersebut, bagaimana kebijakan kesehatan masyarakat sebaiknya disesuaikan sepanjang musim penyakit ini berlangsung?
(a) Menghitung Laju Penyebaran (Turunan)
Diberikan $P(t) = 100\ln (t+1)$ maka $$ P'(t) = \dfrac{100}{t+1}$$ Jadi $$ \begin{array}{rll} P'(1) &= \dfrac{100}{1+1} &= 50 \\ P'(5) &= \dfrac{100}{5+1} &= 16,67 \end{array} $$
(b) Rekomendasi Kebijakan
Berdasarkan temuan sebelumnya, laju tertinggi terjadi di awal musim, lalu menurun secara logaritmik.
Pendidikan Berkualitas
Laju Perkembangan Literasi Siswa
Suatu dinas pendidikan lokal meluncurkan program literasi intensif di sekolah dasar selama enam bulan pertama. Persentase siswa yang mampu membaca kalimat sederhana (literasi fungsional) diperkirakan mengikuti model kuadrat: $L(t) = -t^2 +8t +40$ dengan $L(t):$ persentase literasi siswa setelah $t$ bulan $(0\le t\le 6)$. Jika tingkat literatur awal adalah 40%. (a) Hitung turunan $L'(t)$ dan temukan pada bulan keberapa laju peningkatan literasi maksimal terjadi (b) Berdasarkan hasil turunan dan interpretasi, buat rekomendasi kebijakan pendidikan yang sesuai untuk meningkatkan literasi.
(a) Laju Peningkatan Literasi Maksimal
Laju peningkatan literasi maksimal dapat kita hitung menggunakan uji turunan pertama. Mari kita hitung $$\begin{align*} L'(t) &= -2t+8 &=0 \\ & t = 4 \end{align*} $$
(b) Rekomendasi Kebijakan
Laju tertinggi terjadi di awal musim, lalu menurun secara logaritmik.
Kesetaraan Gender
Momentum Kesetaraan Gender
Sebuah universitas meluncurkan program “STEM untuk Perempuan” sejak tahun 2020. Program ini memberi beasiswa, pelatihan coding, dan mentoring khusus bagi mahasiswi. Dari data internal, persentase perempuan yang mendaftar ke jurusan STEM dalam tahun ke-$t$ sejak program dimulai dimodelkan oleh: $P(t) = -0,5t^2 +3t+10$ dengan $P(t)$ merupakan persen mahasiswi dari total pendaftar jurusan STEM, pada tahun ke-$t$ (dengan $t=0$ berarti tahun 2020). Persamaan ini berlaku hingga 6 tahun ke depan. (a) Hitunglah laju perubahan partisipasi perempuan $P′(t)$ dan tentukan kapan laju ini mencapai titik maksimum. (b) Asumsikan tahun ke-7 hingga ke-9 belum tersedia data, namun program tetap berjalan. Modelkan prediksi pertumbuhan partisipasi perempuan berdasarkan tren fungsi. Jelaskan secara logis dari sisi matematis dan sosial.
(a) Menentukan laju maksimum
Karena $P(t)$ adalah fungsi polinom maka $P(t)$ kotinu. Akibatnya $P(t)$ mempunyai maksimum dan minimum pada $[0,6].$ Untuk mendapatkan titik maksimum dan minimum kita dapat menggunakan uji turunan pertama $$ \begin{align*} P'(t) &= -t+3 &= 0\end{align*} $$
Berdasarkan uji turunan pertama maka titik maksimum terjadi saat $t=3$ karena di sebelumnya naik tetapi setelahnya monoton turun.
Jadi laju maksimumnya adalah $$\begin{align*} P(3) = -0,5(9)+3(3)+10 =14,5 \end{align*} $$
(b) Model Prediksi Pertumbuhan
Karena bentuknya parabola menurun, maka tanpa intervensi baru, partisipasi akan stagnan bahkan bisa menurun. Kita hitung secara langsung $P(7) = 6,5\%$ dan $P(9)=-3,5\%$. Hasil ini tidak realistis karena $P(9)$ bernilai negatif. Sehingga perlu ada intervensi sehingga kurvanya berubah menjadi positif lagi.
Integral
Pendahuluan
Integral: Konsep Matematika yang Mengakumulasi Dunia
Pernahkah Anda bertanya-tanya bagaimana para insinyur merancang bendungan dengan tepat untuk menampung debit air, bagaimana akademisi menghitung total pertumbuhan populasi dalam waktu tertentu, atau bagaimana analis keuangan menentukan akumulasi keuntungan dari berbagai investasi? Integral adalah jawabannya! Integral bukan sekadar simbol ∫ di kertas, melainkan alat kuat untuk menghitung akumulasi—luas, volume, atau total nilai—dalam sains, teknik, ekonomi, dan kehidupan sehari-hari.
Integral: Warisan Newton dan Leibniz dalam Mengembangkan Akumulasi
Di pertengahan abad ke-17, Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz secara terpisah merumuskan ide integral sebagai operasi kebalikan dari turunan. Keduanya meletakkan fondasi kalkulus modern yang memungkinkan manusia “mengumpulkan” perubahan kecil menjadi keseluruhan besar—mulai dari menghitung luas wilayah hingga menakar total perpindahan partikel dalam fisika fluida.
Integral: Matematika di Balik Luas dan Volume
Bayangkan Anda ingin mengetahui luas lahan pertanian tak beraturan atau volume bahan bakar di tangki berbentuk unik. Bagaimana caranya? Integral menyulap bentuk-bentuk kompleks menjadi deretan “potongan” kecil yang mudah dijumlahkan. Dengan membagi objek menjadi jalur-jalur tipis, integral membantu kita menakar akumulasi area dan volume secara tepat.
Mengapa Integral Penting? Memahami Akumulasi dalam Alam dan Teknologi
Dunia kita dipenuhi akumulasi: sedimentasi sungai, penumpukan biaya operasional, atau akumulasi sinyal listrik dalam rangkaian. Integral memungkinkan ilmuwan dan praktisi memodelkan proses-proses ini secara presisi. Di materi ini, kita akan menjelajahi bagaimana integral menjadi bahasa universal untuk merancang sistem, mengoptimalkan sumber daya, dan memprediksi akumulasi perubahan.
Integral: Rahasia Dibalik Kurva dan Area
Apa hubungan antara grafik kecepatan kendaraan dan total jarak tempuhnya? Bagaimana kita menemukan total produksi pabrik dari grafik laju produksi harian? Integral membuka rahasia di balik kurva fungsi dan area di bawahnya. Melalui contoh intuitif dan visualisasi, kita akan menggali cara integral “menerjemahkan” bentuk grafik menjadi nilai akumulasi yang bermakna.
Antiturunan
Fungsi $F$ disebut antiturunan dari $f$ pada selang $I$ jika $F'(x)=f(x)$ pada $I.$
Perhatikan gambar ketiga kurva di bawah ini memiliki turunan yang sama.
Aturan Pangkat
Jika $r$ adalah bilangan rasional kecuali $-1,$ maka $$ \begin{align*}\int x^r dx = \dfrac{x^{r+1}}{r+1}+c \\ \hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}} \end{align*} $$
Perhatikan turunan dari $$ \begin{align*} \left( \dfrac{x^{r+1}}{r+1}+c\right)' = \dfrac{1}{r+1}(r+1)x^r = x^r. \end{align*} $$
Perhatikan bahwa dari teorema ini akan kita dapatkan juga fakta bahwa $$\int 1 dx = x + c.$$
$$ \begin{align*} \int \sin x dx &=-\cos x +c \\ \int \cos x dx &= \sin x +c\end{align*} $$
Lihat kembali aturan turunan.
Kita tinggal balik arah dari siklus turunan $\sin$ dan $\cos$ maka kita akan mudah tentukan integralnya.
Integral Tak Tentu adalah Operator Linier
Misalkan $f$ dan $g$ mempunyai antiturunan dan misalkan $k$ adalah konstan, maka
- $\displaystyle \int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
- $\displaystyle \int (f(x)\pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
Karena turunan operator linier maka tentu integral juga. Integral adalah antirunan atau kebalikan dari turunan.
Aturan Pangkat yang Diperumum
Misalkan $g$ adalah fungsi yang terdiferensialkan dan $r$ adalah bilangan rasional bukan $-1.$ maka $$ \begin{align*} \int [g(x)]^r g'(x) dx = \dfrac{[g(x)]^{r+1}}{r+1}+c\end{align*} $$
Ingat kembali aturan rantai pada turunan $$ \begin{align*} \dfrac{d\dfrac{[g(x)]^{r+1}}{r+1}}{dx} &= \dfrac{d\dfrac{[g(x)]^{r+1}}{r+1}}{dg(x)}\cdot \dfrac{dg(x)}{dx} \\ &= \dfrac{1}{r+1}[g(x)]^r\cdot g'(x) \hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}} \end{align*} $$
Pengenalan Luas
Pada jenjang sekolah yang sebelumnya telah kita kenal rumus untuk menghitung luas segitiga, persegi, persegi panjang, jajar genjang, belah ketupat, layang-layang, trapesium, dan lingkaran. Selanjutnya bagaimana dengan luasan bentuk rumit yang ada di bawah kurva.
Sebelum itu semua akan kita bahas terlebih dahulu pendekatan luas menggunakan limit seperti ilustrasi di bawah ini.
Sekarang kalau lingkaran ini dibatasi dari luar lingkaran seperti pada ilustrasi di bawah ini.
Konsep Dasar
Integral Tentu
Jumlahan Riemann
Misalkan $f$ sebuah fungsi pada selang $[a,b]$. Misalkan $P$ adalah partisi yang membagi $[a,b]$ menjadi $n$ daerah yang tidak harus sama besar oleh titik $a=x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n=b$ dan misalkan $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}.$ Pada setiap sub selang $[x_{i-1},x_i]$ ambil sembarang titik $\overline{x}_i$ yang selanjutnya kita sebut dengan titik sampel pada interval ke-$i.$
Jumlahan Riemann tidak hanya berlaku untuk fungsi di atas sumbu-$x.$ Bahkan patut digarisbawahi pada definisi di atas, pengambilan $\bar{x}$ itu bersifat bebas. Tidak harus di tengah-tengah seperti contoh pada definisi di atas. Jumlahan Riemann juga bisa diaplikasikan untuk fungsi di bawah sumbu-$x$ seperti ilustrasi di bawah ini.
Integral Tentu
Misalkan $f$ adalah fungsi yang terdefinisi pada selang $[a,b].$ Jika $$\begin{align*} \lim_{|P|\to 0}\sum_{i=1}^n f(\bar{x}_i)\Delta x_i \end{align*} $$ terdefinisi, maka $f$ terintegralkan pada $[a,b].$
Lebih lanjut $\displaystyle \int_a^b f(x)dx,$ disebut integral tentu (atau Integral Riemann) dari $f$ dari $a$ sampai $b,$ dinotasikan dengan $$ \begin{align*} \int_a^b f(x)dx=\lim_{|P|\to 0}\sum_{i=1}^n f(\bar{x}_i)\Delta x_i \end{align*} $$
Seperti observasi awal sebelumnya, dapat kita katakan bahwa $$\begin{align*} \int_a^b f(x)dx = A_{up} - A_{down}\end{align*} $$
Teorema Keterintegralan
Jika $f$ terbatas pada $[a,b]$ dan jika ini kontinu kecuali pada berhingga titik di $[a,b],$ maka $f$ terintegralkan pada $[a,b].$ Secara lebih khusus $f$ kontinu pada $[a,b]$, maka $f$ terintegralkan pada $[a,b].$
Bukti akan diberikan pada mata kuliah yang lebih tinggi.
Sebagai contoh berikut ini adalah fungsi yang kontinu kecuali di berhingga titik saja. Semuanya tetap dapat diintegralkan.
Sifat Penjumlahan Selang
Jika $f$ terintegralkan pada selang yang memuat $a,b,$ dan $c,$ maka $$ \begin{align*}\int_a^c f(x)dx = \int_a^b f(x)dx +\int_b^c f(x)dx \end{align*} $$ tidak memperdulikan urutan $a,b,$ dan $c.$
Ingat kembali sifat-sifat yang ada pada penjumlahan atau $(\sum).$ Karena secara definisi integral tentu adalah penjumlahan dari luasan partisi.
Sebagai contoh tidak memperhatikan urutan dari $a,b,$ dan $c$ adalah $$ \begin{align*}\int_0^2 xdx &= \int_0^1 xdx +\int_1^2 xdx \\ \int_0^2 xdx &= \int_0^4 xdx +\int_4^2 xdx \end{align*} $$
Teorema Dasar Kalkulus 1 (TDK 1)
TDK 1
Misalkan $f$ kontinu pada selang $[a,b]$ dan misalkan $x$ adalah titik pada $(a,b),$ maka $$ \begin{align*} \dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t) dt = f(x) \end{align*} $$
Misalkan $F(x)=\displaystyle \int_a^x f(t) dt.$ Maka kita punya $$ \begin{align*} \dfrac{d}{dx} \int_a^x f(t)dt &= F'(x) \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{F(x+h)-F(x)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}\left( \int_a^{x+h} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt\right) &= \lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_h^{x+h} f(t)dt \end{align*} $$
Jika kita perhatikan lebih lanjut (seperti pada gambar di bawah ini) nilai dari $\displaystyle \int_x^{x+h} f(t)dt$ akan dekat dengan $hf(x)$
Jadi $$ \begin{align*}\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = \lim_{h\to 0}\dfrac{1}{h}(hf(x))=f(x) \end{align*} $$
Tentu saja bukti ini tidak sempurna karena tidak ada kepastian perubahan yang kecil $f(x)$ pada $[x,x+h].$
Mengawetkan Pertidaksamaan
Jika $f$ dan $g$ terintegralkan pada $[a,b]$ dan jika $f(x)\le g(x)$ untuk semua $x\in [a,b],$ maka $$\begin{align*}\int_a^b f(x)dx \le \int_a^b g(x) dx \end{align*} $$
Integral tentu, seperti halnya operasi sigma akan mengawetkan pertidaksamaan.
Jika $f$ dan $g$ terintegralkan pada $[a,b]$ dan jika $m \le f(x) \le M$ untuk semua $x\in [a,b],$ maka $$\begin{align*}m(b-a) \le \int_a^b f(x)dx \le M(b-a) \end{align*} $$
Dapat dibuktikan secara mandiri oleh pembaca menggunakan teorema sebelumnya.
Ilustrasi di bawah ini menggambarkan isi teorema di atas.
Linieritas Integral Tentu
Jika $f$ dan $g$ terintegralkan pada $[a,b]$ dan $k$ sebuah konstan. Maka $kf(x)$ dan $f(x)+g(x)$ terintegralkan untuk semua $x\in [a,b],$ maka
- $$\begin{align*}\int_a^b kf(x)dx =k \int_a^b f(x) dx \end{align*} $$
- $$\begin{align*}\int_a^b f(x)+g(x) dx = \int_a^b f(x) dx +\int_a^b g(x) dx \end{align*} $$
- $$\begin{align*}\int_a^b f(x)-g(x) dx = \int_a^b f(x) dx -\int_a^b g(x) dx \end{align*} $$
Integral tentu, seperti halnya operasi sigma akan mengawetkan linieritas.
Teorema Dasar Kalkulus 2 (TDK 2)
TDK II
Misalkan $f$ kontinu di $[a,b]$ dan $F$ adalah antiturunan dari $f$ pada $[a,b].$ Maka $$\begin{align*}\int_a^b f(x)dx = F(b)-F(a) \end{align*} $$
Misalkan $G(x)= \int_a^x f(t)dt$ dengan $x\in [a,b]$ Maka berdasarkan TDK I, $G'(x)=f(x)$ untuk $x\in (a,b).$ Karena $F(x)$ juga antiturunan dari $f(x),$ maka $F'(x)=G'(x).$ Maka $$\begin{align*} F'(x)-G'(x) &= 0 \\ F(x)-G(x) &= c \end{align*} $$
Selanjutnya $G(a) = \displaystyle\int_a^a f(t)dt = 0.$ Akibatnya $F(a) = G(a) + c = 0+c=c.$ Jadi $$\begin{align*} \int_a^b f(t) dt &= (G(b)+c) - c \\ &= F(b) - F(a) \hspace{1cm}\boxed{\text{TERBUKTI}}\end{align*} .$$
Aturan Substitusi pada Integral
Misalkan $g$ adalah fungsi yang terturunkan dan misalkan $F$ adalah antiturunan dari $f.$ Maka $$ \begin{align*}\int f(g(x))g'(x)dx = F(g(x))+c \end{align*} $$
Jelas berdasarkan aturan substitusi pada turunan.
Aturan Substitusi pada Integral Tentu
Misalkan $g$ adalah fungsi yang terturunkan pada $[a,b]$ dan $f$ kontinu pada range $g.$ Maka $$ \begin{align*}\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)du \end{align*} $$ dengan $u=g(x).$
Jelas berdasarkan aturan substitusi sebelumnya.
Teorema Nilai Rata-rata
Nilai Rata-rata Fungsi
Jika $f$ terintegralkan pada selang $[a,b],$ maka nilai rata-rata dari $f$ pada $[a,b]$ adalah $$ \begin{align*} \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx.\end{align*} $$
Teorema Nilai Rata-rata untuk Integral
Jika $f$ kontinu pada $[a,b],$ maka terdapat $c\in [a,b]$ sehingga $$ \begin{align*} f(c) = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt .\end{align*} $$
Misalkan $G(x) = \int_a^x f(t)dt.$ Dari teorema nilai rata-rata untuk turunan, didapatkan $$\begin{align*}G'(c) = \dfrac{G(b)-G(a)}{b-a}. \end{align*} $$ Seperti yang telah dibahas di atas $G(a) = \int_a^a f(t)dt,$ $G(b) = \int_a^b f(t)dt,$ dan $G'(c)=f(c).$ Maka $$ \begin{align*}\frac{1}{b-a}\int_a^b f(t)dt = f(c) = G'(c). \end{align*} $$
Aplikasi
Luas Area
Luas Diantara Dua Kurva
Misalkan $g(x) \le f(x)$ pada $[a,b].$ Maka luas diantara dua kurva $f(x)$ dan $g(x)$ dapat ditentukan dengan cara partisi seperti yang ada pada gambar di bawah ini.
Perhatikan definisi di atas, harus diketahui terlebih dahulu urutan antara $f(x)$ dan $g(x).$ Kita harus membedakan integral antara $f(x)\le g(x)$ atau $g(x)\le f(x).$
Volume Lempeng
Perhatikan volume beberapa benda 3D di di bawah ini.
Volume Benda Putar
Sehingga secara analog dapat dicari volume benda 3D melalui partisi di bawah.
Ketika partisi tegak lurus terhadap sumbu putar hal ini akan mengakibatkan partisi berbentuk seperti cakram atau lempeng koin. Sehingga cara ini wajar disebut sebagai metode cakram. Oleh karena itu, rumus yang digunakan adalah rumus volum tabung $(V=\pi R^2 T).$
Sedangkan sebaliknya jika partisi sejajar terhadap sumbu putar hal ini akan mengakibatkan partisi berbentu seperti kulit tabung. Sehingga cara ini disebut sebagai metode kulit tabung. Kulit tabung ini jika dibuka sebenarnya merupakan bentuk balok tipis atau lempeng besi (seperti ditunjukkan pada gambar di bawah ini). Oleh karenanya rumus yang digunakan adalah rumus volum tabung $(V=PLT).$
Mari perhatikan perbandingan dua metode di bawah ini.
Gambar di atas menggunakan metode cakram karena partisinya tegak lurus dengan sumbu putar yaitu sumbu-$x.$ Maka digunakan rumus volum tabung $$\begin{align*} \Delta V &= \pi R^2 T \\ &= \pi y^2 \Delta x \\ &= \pi \left(\dfrac{r}{h}x\right)^2\Delta x \\ V &= \int_0^h \pi \dfrac{r^2}{h^2}x^2 dx \end{align*} $$
Gambar di atas menggunakan metode kulit tabung karena partisinya sejajar dengan sumbu putra yaitu sumbu-$x.$ Maka digunakan rumus volum balok $$ \begin{align*} \Delta V &= PLT \\ &= (2\pi y)\left(h-\frac{h}{r}y \right)\Delta y \\ V &= \int_0^r 2\pi y \left(h-\frac{h}{r}y \right)dy \end{align*} $$
Eksplorasi SDGs
Tanpa Kemiskinan
Memodelkan Pengurangan Kemiskinan
Di sebuah kabupaten, tingkat kemiskinan pada tahun 2023 adalah 25%. Pemerintah menargetkan penurunan kemiskinan sebesar 3% per tahun melalui berbagai program sosial. Namun, data riil menunjukkan penurunan hanya 1,5% per tahun karena keterbatasan anggaran dan implementasi program yang kurang tepat sasaran. Tingkat kemiskinan dimodelkan dengan fungsi $P(t)=25-3t$ persen per tahun $(t)$ dimulai tahun 2023. (a) Hitung total akumulasi penurunan kemiskinan yang diharapkan dalam 5 tahun pertama. (b) Hitung rata-rata defisit target tahunan dalam 5 tahun tersebut sesuai data riil.
(a) Total akumulasi penurunan kemiskinan yang diharapan
Total akumulasi penurunan dapat kita hitung menggunakan integral melalui $$ \begin{align*}\text{Total Penurunan} &= \int_0^5(25-3t)dt\\ &= \left[25t-\frac{3}{2}t^2 \right]_0^5 \\ &= 125-37,5 \\ &= 87,5 \end{align*} $$ Jadi total akumulasi penurunan kemiskinan yang diharapkan dalam 5 tahun pertama adalah 87,5%.
(b) Rata-rata defisit target tahunan
Fungsi defisit dapat diketahui melalui penurunan yang diharapkan dikurangi dengan penurunan berdasarkan data riil. $$D(t) = 25-3t - (-1,5t) = 25 - 1,5t $$ Selanjutnya kita hitung rata-rata fungsi ini menggunakan teorema rata-rata integral $$ \begin{align*}\text{Rata-rata} &= \dfrac{1}{5-0}\int_0^5(25-1,5t)dt \\ &= \dfrac{1}{5}\left[25t-0,75t^2 \right]_0^5 \\ &= (25-3,75) \\ &= 21,25 \end{align*} $$ Jadi rata-rata defisit target tahunannya adalah 21,25%.
Tanpa Kelaparan
Akumulasi Produksi Pangan dan Perencanaan Pangan Nasional
Indonesia menargetkan ketahanan pangan dengan menaikkan produksi beras nasional. Di suatu provinsi, data perkiraan laju produksi beras per minggu dari awal musim panen (minggu ke-$t$) diberikan oleh fungsi: $R(t)=3t^2+5$ (dalam ton/ha/minggu). Musim panen berlangsung selama 8 minggu. (a) Berapa total produksi beras per hektar selama musim panen berlangsung (8 minggu)? (b) Berdasarkan hasil total produksi, jika kebutuhan konsumsi beras lokal adalah 140 ton per hektar per musim, buatlah rekomendasi kebijakan yang seharusnya diambil oleh pemerintah daerah agar target tetap tercapai.
(a) Menghitung Total Produksi Beras
Total Produksi selama 8 minggu dapat kita hitung menggunakan integral $$ \begin{align*}\int_0^8 &= \int_0^8 (3t^2+5)dt \\ &= \left[ t^3+5t\right]_0^8 \\ &= ((8)^3+5(8)) - (0) \\ &= 552 \end{align*} $$ Jadi total produksi beras dalam 8 minggu adalah 552 ton per hektar.
(b) Rekomendasi Kebijakan
Kita bandingkan antara kebutuhan dan logistik yang tersedia $$ 552-140 = 512$$ Artinya terdapat surplus yang besar pada daerah ini. Maka kebijakan yang tepat adalah melakukan pertukaran barang dan jasa dengan daerah lain. Sehingga daerah ini dapat memenuhi kebutuhannya di bidang lain dan menyalurkan beras daerah ini ke tempat yang defisit.
Kehidupan Sehat dan Sejahtera
Analisis Ketersediaan Tempat Tidur Rumah Sakit
Di suatu kabupaten, laju kebutuhan tempat tidur rumah sakit per tahun dinyatakan dengan fungsi $f(t)=50+2t$ dalam unit per tahun $(t)$, dan kapasitas saat ini hanya 500 tempat tidur. Biaya yang digunakan untuk membangun tempat tidur rumah sakit adalah 1 miliar per tempat tidur. (a) Hitung total kebutuhan tempat tidur rumah sakit hingga tahun ke-10. (b) Hitung total biaya yang harus disiapkan oleh pengelola rumah sakit untuk memenuhi kebutuhan tempat tidur rumah sakit.
(a) Akan kita hitung total kebutuhan tempat tidur rumah sakit hingga tahun ke-10.
Kita akan menghitungnya menggunakan integral $$\begin{align*}\text{Total Kebutuhan} &= \int_0^{10}(50+ 2t)dt \\ &= \left[50t+t^2 \right]_0^{10} \\ &= (500+100)-(0+0) \\ &= 600 \end{align*} $$ Jadi total kebutuhan tempat tidur rumah sakit hingga tahun ke-10 adalah 600 tempat tidur.
(b) Akan kita hitung total biaya yang harus disiapkan oleh pengelola rumah sakit untuk memenuhi kebutuhan tempat tidur rumah sakit.
$$\begin{align*}\text{Total Biaya} &= \text{Total Kebutuhan}\cdot \text{Biaya per Tempat Tidur} \\ &= 600\cdot 1 \text{ Miliar} \\ &= 600\text{ Miliar} \end{align*} $$ Jadi total biaya yang harus disiapkan oleh pengelola rumah sakit untuk memenuhi tempat tidur rumah sakit adalah 600 Miliar.
Pendidikan Berkualitas
Mengukur Luas Kurva Pembelajaran dan Efektivitas Pendidikan
Sebuah studi dilakukan untuk mengukur efektivitas program peningkatan literasi numerasi mahasiswa tahun pertama. Skor rata-rata pemahaman materi matematika dinyatakan sebagai fungsi terhadap waktu (bulan) sejak awal semester: $S(t)=10ln(t+1)$ dengan $S(t)$ adalah skor rata-rata pemahaman matematika pada bulan ke-$t$ (dalam skala 0–100), $t$ dalam bulan sejak awal semester, dengan $0\le t\le 6.$ (a) Hitung total akumulasi skor pemahaman mahasiswa dari bulan ke-0 hingga bulan ke-6. (b) Jika pemerintah menargetkan pencapaian skor kumulatif minimal 110 poin untuk memenuhi standar pembelajaran nasional, apa kebijakan yang sebaiknya diambil berdasarkan hasil perhitungan tersebut?
(a) Menghitung Integral Skor Pemahaman
Total akumulasi skor pemahaman dapat kita tentukan melalui integral $$\begin{align*} \int_0^6 S(t)dt &= \int_0^6 10\ln (t+1) dt\end{align*} $$ Kita dapat menggunakan aturan substitusi untuk menyelesaikan masalah berikut. Misalkan $u=t+1$ maka $du=dt$ dan saat $t=0,u=1$ dan $t=6,u=7.$ Akibatnya $$\begin{align*}\int_0^6 10\ln (t+1) &= 10\int_1^7 \ln (u) du \\ &= 10\left[u\ln u -u \right]_1^7 \\ &= 10[7\ln 7 -6] \\ &= 70\ln 7 -60 \end{align*} $$
(b) Rekomendasi Kebijakan
Sekarang kita bandingan terlebih dahulu antara target dan akumulasi riil. Target adalah 110 poin. Akumulasi riil adalah $70\ln 7-60.$ Cek $$\begin{align*}\text{Target} &< \text{Akumulasi Riil} \\ 110 &< 70\ln 7-60 \\ \frac{170}{70} &< \ln 7 \\ 2\frac{3}{7} &< \ln 7 < 2 \\ &\text{TIDAK MUNGKIN} \end{align*} $$ Jadi targetnya lebih lebih besar daripada akumulasi riil.
Kesetaraan Gender
Akumulasi Keterlibatan Perempuan dalam Kegiatan Kepemimpinan Kampus
Sebuah perguruan tinggi melacak keterlibatan mahasiswi dalam kegiatan organisasi kampus (seperti BEM, UKM, Senat) selama 6 bulan pertama sejak program “Perempuan Pemimpin” diluncurkan. Tingkat keterlibatan per bulan dinyatakan oleh fungsi: $$ K(t) = t\cdot \sqrt{t^2+64}$$ dengan
- $K(t)$: jumlah partisipasi mahasiswi (dalam unit kegiatan) pada bulan ke-$t$,
- $t$: waktu dalam bulan, dari $t=0$ sampai $t=6.$
(a) Hitung total akumulasi keterlibatan mahasiswi dalam 6 bulan pertama. (b) Jika target program adalah mencapai 100 unit partisipasi selama 6 bulan, evaluasilah pencapaian program tersebut dan berikan rekomendasi kebijakan.
(a) Menghitung Total Keterlibatan
Kita akan menghitung total keterlibatan dari integral $\displaystyle \int_0^6 t\cdot\sqrt{t^2+64} dt.$ Namun kita tidak dapat langsung mengintegralkannya tanpa menggunakan aturan substitusi.
Misalkan $u=t^2+64,$ maka $du = 2tdt.$ Akibatnya saat $t=0,u=64$ dan $t=6,u=100.$ Maka $$ \begin{align*} \int_0^6 t\sqrt{t^2+64} dt &= \int_{64}^{100}\sqrt{u}\left(\frac{1}{2}du\right) \\ &= \frac{1}{2}\int_{64}^{100}u^{1/2}du \\ &= \frac{1}{2}\cdot \left[ \frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{64}^{100} \\ &= \frac{1}{3}\left( 100^{3/2}-64^{3/2}\right) \\ &= 162\dfrac{2}{3}\end{align*} $$ Jadi total akumulasi keterlibatan mahasiswa dalam 6 bulan pertama adalah $162\dfrac{2}{3}.$
(b) Evaluasi dan Kebijakan
Perhatikan bahwa targetnya adalah 100. Sedangkan telah kita hitung bahwa akumulasi riil yang terjadi adalah $162\dfrac{2}{3}.$ Jadi kita bisa simpulkan bahwa program ini sangat sukses. Program ini dapat dilanjutkan.